DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x₂ – x₁) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P₁P₂ y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P₁(7, 5) y P₂(4, 1)

d = 5 unidades

Demostración
Sean P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂) dos puntos en el plano.
 
 La distancia entre los puntos P₁ y P₂ denotada por d =  esta dada por:

(1)

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂) así como también el segmento de recta 
 

Figura 1

Al trazar por el punto P₁ una paralela al eje x (abscisas) y por P₂ una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P₁RP₂ y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero:  ; 

 y 

Luego, 

 

 
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P₁ y  P₂ no afecta el valor de la distancia.